Types de bases

Documentation d'une fonction en Python

Exercices

  1. On a vu en classe une fonction decToBase(nombre,base) qui affiche à l'écran, du bit de poids faible vers le bit de poids fort, les chiffres de la décomposition de nombre dans la base b

       	
       	def decToBase(nombre,base):
       	    quotient = nombre
       	    while quotient != 0:
       	        chiffre = quotient % base
       	        print(chiffre,end = " ")
       	        quotient = quotient // base
       	
       	
  2. A partir de maintenant chaque fonction en Python doit être documentée

    Regardons sur un exemple ce que cela signifie

    Regardons l'aide de la fonction forward() du module turtle

    Regardons maintenant la définition de la fonction forward()

  3. Documentez la fonction decToBase(nombre,base) de la manière suivante

       	
       	def decToBase(nombre,base):
       	    '''paramètres:
       	    nombre est un entier naturel écrit en base 10
       	    base est un entier naturel <= 10
       	    
       	    résultat: None 
       	    
       	    affiche la conversion de nombre dans la base \
       	    du bit de poids faible vers le bit de poids fort\
       	    de la gauche vers la droite
       	    '''
       	
       	
  4. Charger la fonction en mémoire (exécutez là avec des valeurs particulières)

    Exécuter dans l'interpréteur help(decToBase). Qu'observez vous ?

Codage html de la couleur

le langage html (pour Hyper Text Marked up Language) est le langage qui sert à écrire les pages des sites Web.

Ouvrir le logiciel Gimp 2.8 (menu démarrer). L'écran devrait comporter trois fenêtres dont une partie est représentée ci-dessus.

Cliquer sur la couleur du texte ou couleur de premier plan (noir normalement). Une nouvelle fenêtre devrait s'ouvrir qui permet de modifier cette couleur.

Elle comporte différentes zones dont : les six réglettes TSV et RVB, la notation HTML, la couleur actuelle (en cours de définition), la couleur précédente (ancienne couleur du texte, noir normalement) et un nuancier cliquable (en haut à gauche) au choix parmi cinq types de nuanciers (présentés par cinq onglets).

Sélectionner le quatrième onglet, celui du cercle TSV. Nous allons à présent en utilisant les réglettes RVB ou leur équivalent numérique à droite, compléter le tableau ci-dessous. Par exemple, la couleur noire est représentée par les trois coordonnées RVB (0;0;0).

Questions

  1. Nous allons nous concentrer sur le code HTML. À quoi correspondent les deux premiers chiffres de ce code ? Les deux suivants ? Les deux derniers ?
  2. Compléter le tableau suivant en vue de décrypter le code HTML, avec les correspondances les plus significatives

    Code htmlRVBCommentaires
    (0;0;0)
    (255;0;0)
    (1;0;0)
    (10;0;0)
    (11;0;0)
    (15;0;0)
    (16;0;0)
    (17;0;0)
  3. A quoi correspondent les lettres a, b, c, d, e, f du code HTML ?

    Puis donner le code RVB de abcdef et le code HTML de (232;18;115) et expliquez les.

  4. Vous vous êtes peut-être rendu compte que le codage HTML exprime en base 16 les coordonnées RVB.

    En base 16 (notation dite hexadécimale),$a_1a_0=a_1\times 16+ a_0$ où les $a_i$ sont les chiffres 0, 1 … 9, a, b, c, d, e, f, ces derniers représentants 10, 11, 12, 13, 14, 15.

    Quelle est l'écriture hexadécimale de 234 ? Quelle est l'écriture décimale de ab ?

  5. Le chiffre hexadécimal a correspond à 10 en décimal, le chiffre b à 11 en décimal.

    Quelle est l'écriture binaire de 10 ? De 11 ? Du nombre codé ab en hexadécimal ?

    Par quel moyen simple peut-on passer de l'écriture binaire à l'écriture hexadécimale et réciproquement ?

Conversion avec Python

Pour convertir un nombre décimal en binaire utiliser la fonction bin()

Par exemple bin(7) va retourner la chaîne de caractères '0b111'

Pour convertir un nombre décimal en hexadécimal utiliser la fonction hex()

Par exemple hex(255) va retourner la chaîne de caractères '0xff'

'0x' pour signifier que l'on est dans l'écriture hexadécimale

Questions

  1. Vous devez trouver tout seul comment convertir un nombre en base 16 vers la base 10 à partir d'une documentation fournie

    Ouvrir IDLE et dans l'interpréteur Python taper help(int)

    Bien que l'aide soit en anglais trouver comment convertir un nombre écrit en base 16, en base 10

  2. Donner l'écriture hexadécimale de l'octet '0b10111011'

Représentation des entiers négatifs

On aimerait voir comment sont codés les entiers naturels et négatifs "à l'intérieur de la machine"

On va utiliser une fonction de Python qui appliquée à un entier entre parenthèse donne sa représentation en octets, chaque octet codé en hexadécimal

Il s'agit de la fonction .to_bytes(....)

Regardons sur les trois exemples suivants

Dans le premier exemple elle donne le codage sur un octet de -1 on a reconnu 0xff c'est à dire 1111 1111

Dans le deuxième exemple elle donne le codage sur deux octets de -1 et on a que des 1 donc 0xffff c'est à dire 1111 1111 1111 1111

Dans le troisième exemple elle donne le codage de -8 sur 2 octets mais les deux octets cette fois ci ne sont plus identiques donc il faut préciser dans quelle ordre ils doivent être traités, voilà le paramètre byteorder doit être précisé

Il y a deux choix possibles soit byteorder="big" et l'ordre est "de la gauche vers la droite" soit byteorder="little" et l'ordre est "de la droite vers la gauche"

Pour éviter de retaper une commande "lourde" utiliser l'historique de l'interpréteur (touche UP)

Questions

  1. En utilisant la fonction to_bytes(....) vérifier les résultats de l'exercice 6, c'est à dire coder sur 2 octets , _1, puis -4, -15
  2. Donner le codage sur 2 octets de 2019
  3. Donner le codage sur 2 octets de -2019
  4. Vérifier à la main

Représentation approximative des réels

Le codage des nombres à virgules suit une norme bien précise la norme IEEE 751 qui n'est pas au programme

Il s'agit seulement de bien comprendre que certains nombres ne sont pas dyadiques et que par conséquent leur représentation en machine étant tronquée cela peut conduire à des calculs faux si on n'y prend pas garde

Voici les premières puissances de 0,5

(0,5)^n0,50,250,1250,06250,031250,0156250,00781250,00390125
n = 12345678

Questions

  1. Vérifier que 0,5625 est dyadique
  2. La plus grande puissance de 0,5 contenue dans 0,1 est (0,5)^4 = 0,0625

    Compléter 0,1 = (0,5)^4 + reste

  3. Chercher la plus grande puissance de 0,5 contenue dans le reste

    En déduire que 0,1 = (0,5)^4 + (0,5)^5 + reste

  4. Continuer et en déduire que 0,1 = (0,5)^4 + (0,5)^5 + (0,5)^8 + (0,5)^9+ reste

    En déduire que ce développement est périodique et que 0,1 = 0,1001100110011...... en binaire

  5. Pourquoi la fonction suivante est incorrecte ?

    
    def sontColineaires(xU,yU,xV,yV):
        return xU*yV - yU*xV == 0
    
    
  6. Comment la corriger ?

Codage des caractères

Voir ici un survol historique du codage des caractères

Que retenir ?

  1. En Python 3 le type string (chaîne de caractères) est codé en Unicode,à chaque caractère est associé un code, un entier en hexadécimal, par exemple la lettre a a pour code U+61 (en hexadécimal 61), le chiffre 1 a pour code U+31

    Ce que l'on nomme Basic Latin est codé de 0x00 à 0x7F (128) et correspond ce qui anciennement s'appelait le code ASCII

    D'autres codages: comme é -> 0xE9, œ -> 0x0153 (deux octets),β -> 0x03b1 (deux octets),π -> 0x03C0 , l' équivalent du d en russe la lettre д a pour code en hexadécimal 0x0434

    Voici un exemple sur 3 octets 𝔐 -> 0x1D510

    Beaucoup d'autres exemples ici

  2. En machine il n' y a que des octets, et la transformation du code Unicode en octets, s'appelle l'encodage

    L'encodage le plus utilisé de par le monde est à l'heure actuelle l'UTF-8 (pour Unicode Transformation Format) et 8 pour octets

    Concrètement si le code du caractère est < 128, l' encodage se fait sur un octet celui du code

    Sinon l'encodage donnera une séquence de deux, trois ou quatre octets éventuellement par la transformation suivante:

Unicode et fonction built-in Python

Il s'agit de vérifier à partir de fonctions Python le "hack" de l'utf-8

  1. Regardons le cas de la lettre Δ dont le code Unicode est U+0394
  2. En tapant dans l'interpréteur Python s = chr(0x394) le caractère Δ est affecté à s
  3. Si on veut les octets (bytes) on utilise la commande s.encode() et on obtient deux octets sous la forme b'\xce\x94'
  4. Vérifions que que 0x0394 -> 0xce94 correspond bien à l'encodage utf-8 pour un code de 2 octets:

    Convertissons le code Unicode hexadécimal 0x0394 sous la forme de deux octets, on obtient 00000011 10010100 (on fait bin(int(0x0394,16)))

  5. On forme le premier octet en ajoutant après la séquence 110 les trois derniers bits de 00000011 et les deux premiers de 10010100, donc on obtient

    11001110 qui en hexadécimal est 0xce

    Le deuxième octet commence par 10 avec à la suite les bits restants du deuxième octet du code c'est à dire:

    10010100 qui en hexadécimal est 0x94

  6. Comment fait on alors pour ne pas se tromper dans l'opération inverse de décodage ?

    Pourquoi ne peut on pas se tromper s'il faut décoder 11001110 10010100 01111000 ? Pourquoi on ne peut obtenir que Δx ?

    Lorsqu'on lit un octet les premiers bits sont significatifs, on enlève de l'octet les éventuels 1 et le premier zéro, le nombre de 1 obtenus renseigne sur les octets qu'il faudra traiter ensemble, ainsi dans notre exemple 110 signifie qu'il faut traiter les deux octets 11001110 et 10010100 ensemble

    Un octet seul commence toujours par 0, si un octet commence par 10, c'est qu'il fait partie d'un groupe de 2, 3 ou 4 octets

    Il faut regarder un des octets qui le précédent pour avoir le nombre d'octets du groupe :

    110 -> 2 octets, 1110 -> 3 octets, 11110 -> 4 octets

Conversion de décimal en une base b <= 10 en utilisant les chaines de caractères

Questions

  1. Faire évoluer la fonction decToBase(nombre,base) pour qu'elle retourne une chaîne de caractères
  2. Allez voir sur le Web ce qu'est la concaténation de chaînes de caractères
  3. Utiliser astucieusement la concaténation afin que la chaîne retournée soit de la gauche vers la droite du bit de poids fort au bit de poids faible

Utilisation de la bibliothèque doctest et programmation modulaire

On va commencer un fichier Python nommé bases.py que l'on va compléter au fur et à mesure de l'année

Dans ce fichier on définira des fonctions commentées mais aussi avec des exemples d'utilisation

Ces fonctions pourront ensuite être utilisées ailleurs que dans le fichier bases.py

  1. Dans un premier temps on va modifier la fonction decToBase(nombre,base) afin qu'elle retourne une chaîne de caractères

    Vous observerez qu'en plus de la documentation on a ajouté des exemples d'appels de la fonction avec le symbole >>>

    Attention ! il y a un espace entre >>> et le nom de la fonction

  2. 
    def decToBase(nombre,base):
        ''' paramètres: nombre : un entier naturel en base 10
                        base: un entier entre 2 et 10 inclus
                        
            résultat: une chaine contenant les chiffres \
            de la décomposition du nombre dans la base base
       	du bit de poids faible vers le bit de poids fort\
       	de la gauche vers la droite
       	
        >>> decToBase(4,2)
        '100'
        >>> decToBase(25,8)
        '31'
        '''
        quotient = nombre 
        chaineChiffres = ''
        while quotient > 0:
            chiffre = str(quotient % base)
            chaineChiffres = chiffre + chaineChiffres
            quotient = quotient // base
        return chaineChiffres
    
    
  3. Enregistrer bases.py le charger en mémoire

    Ensuite dans l'interpréteur entrez les commandes suivantes

    Que s'est il passé ? doctest a exécuté decToBase(4,2) puis a comparé le résultat obtenu avec celui de l'exemple c'est à dire '100' et a refait la même procédure avec decToBase(25,8)

    Puisque il n'y a pas de différences il conclut que les test ont réussi

  4. Modifions un des exemples en écrivant decToBase(24,8) à la place de decToBase(25,8)

    Relançons le processus de tests et cette fois ci une erreur est détectée

  5. On va rajouter l'importation de doctest et le lancement des tests directement dans bases.py, uniquement si le fichier bases.py n'est pas exécuté à l'extérieur dans un autre fichier .py

    Pour cela on rajoute à la fin de bases.py

     
     if __name__ == '__main__':
         import doctest
         doctest.testmod()
    
    

    A l'exécution de bases.py vous constatez s'il n'y a pas d'erreurs que doctest est "moins bavard" que précédemment

    On va modifier la dernière ligne pour que doctest délivre plus d'informations

     
     if __name__ == '__main__':
         import doctest
         doctest.testmod(verbose=True)
    
    

    Voilà à quoi ressemble bases.py pour l'instant

  6. En vous inspirant de ce qui a été fait précédemment

    Ecrire la documentation de decToHex(nombre) avec des exemples

    Ecrire le corps de la fonction

    Relancer les tests pour bases.py